情報科学屋さんを目指す人のメモ(FC2ブログ版)

何かのやり方や、問題の解決方法をどんどんメモするブログ。そんな大学院生の活動「キャッシュ」に誰かがヒットしてくれることを祈って。

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「言語哲学大全III 意味と様相(下)」の感想・書評・概要 このエントリーを含むはてなブックマーク

言語哲学大全 3 意味と様相 (下) 並列アルゴリズムの動作を検証する方法を学びたいというきっかけから時相論理と様相論理に興味を持ち、ひとまず様相論理に関する名著らしい「言語哲学大全 3 意味と様相 (下)」を読んでみました。感想などを書いておきます。以下、論説文モードで。

感想+書評

本書を読む以前は、「神は存在するのか」のような問題について考える学問が哲学であるとイメージしていた。しかし、それはあくまで古典的な哲学であり、現代の哲学には、はるかに広大な分野が存在することが分かった。哲学に対して同様に感じているのならば、その感じ方は本書を通じて大きく変わると思われる。

あらかじめ断っておくが、本書は様相論理や時相論理の使い方やそれを用いた証明を扱うことが目的ではないし、そもそも数理論理学に分類されさえしないだろう。本書が扱うのは現代の言語哲学である。様相論理はそもそも言語を分析するために生まれた論理であるので、まさに様相論理の源流にあたる学問である。また「現代の」とは主に1900年代後半であり、哲学に対する私のイメージからすれば驚くほど最近のことを対象とする。本書を読み進めることで、そのごくごく最近に様相論理を含めた言語哲学が大きく進歩したことが理解できたと共に、哲学に対するイメージは大きく変化することとなった。

言語哲学の大きな進歩とは、可能世界意味論の登場である。可能世界意味論は、可能性や必然性を表す言葉に意味を与える。そしてこれにより、可能性や必然性を扱う論理である様相論理は大きく発展した。そして現在、様相論理およびその応用である時相論理は、今では計算機科学分野でも応用され、システムの形式的検証に利用されている。本書では、様相論理の誕生から可能世界意味論の登場以前までにわたって、どのように扱われてきたかに触れ、様相論理の抱えていた問題を説明する。そして、可能世界意味論の登場によって、どう問題が解決されたかを詳細に述べ、これが言語哲学においていかに重要な出来事であったかを明らかにする。

また、この可能世界意味論が様相論理に限らず、様々な哲学分野で役に立つ道具であることを述べ、古典的な哲学の解釈にさえ影響を与えたことが明らかになり、この発明の影響の大きさに興奮させられた。その一方で本書では、可能世界意味論の登場により新たに生まれた問題について議論を深めていき、哲学の発展が現在へ続いていることを実感させてくれる。

書籍全体を通じて、後に否定される主張も含めた多くの主張と、それを扱った議論が紹介される。このおかげで、可能世界意味論誕生前後の哲学者たちが何を考え、そこにどのような背景が存在したかを読み取ることが出来る。これにより、表面的には難しい内容を、深いところから時間をかけて読み解くことが出来、結果、非常に得ることの大きい書籍になっている。また、その主張と反論の数々とその解説は、対象を哲学に限らない、理論の見方のようなものを示しているように感じる

"新しい理論が支持者に事欠かないのは、何が中心的な問題であり、何が周辺的な問題であるかの判断自体が変わりえたという理由によると考えられる。" (p.291)

Wikipediaには、本書が哲学(分析哲学)を専攻する日本の学生および研究者の必読書として不動の地位を占めているとされているが、必読書と呼ばれて当然と思える内容である。

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証明終わりの記号をamsthmパッケージを使わずに書く このエントリーを含むはてなブックマーク

証明を書くときの、「Q.E.D.」「証明終わり」の意味で利用する「□(四角形)」。これをLaTeXで出力する方法について。

前提

証明を書きたければ、

\usepackage{amsthm}
...
\begin{proof}
(証明)
\qed
\end{proof}

のように、amsthmパッケージを利用すればいいのですが、これを使うと証明を書きたいだけなのに他のところに影響が出てしまって困ったので、これを使わないで書く方法をメモしておきます。

証明の書き方

まずbegin{document}より前に、

\newtheorem{Proof}{証明}

のように書いて、自分で定義した「Proof」環境を使えるようにします。そして本文中で、

\begin{Proof}
(証明本文)
\end{Proof}

のように書けばOK。

証明終わりの四角の書き方

ここからが本題です。単純に証明終わりの四角を書きたいなら次のようにすればOKです。 \begin{document}より前に、

\usepackage{latexsym}
\def\qed{\hfill $\Box$}

と書いて置いて先ほどの証明の末尾に

\begin{Proof}
(証明本文)
\qed \end{Proof}

と書くだけです。amsthmパッケージを使わないという縛りだとこうすればよいみたいです。

LaTeX2e 美文書入門 最新版

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TeXで複素数C、実数R、有理数Q、整数Z、自然数Nなどの白抜き文字を使う方法 このエントリーを含むはてなブックマーク

実数RなどをTeXで表示

手書きで複素数C、実数R、有理数Q、整数Z、自然数Nを描くとき、独特の白抜き文字で良く書きます。これを、TeXで作成する方法のメモ。私が普段利用する場合にこれでうまくいったというだけなのであしからず。

パッケージ追加

以下のようにパッケージを追加する。

usepackage{amsmath, amssymb}
usepackage{type1cm}

白抜き文字の入力

たとえば「実数R」は次のようにすれば表示できます。

実数$\mathbb{R}$

参考文献

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群論のおすすめ入門書 このエントリーを含むはてなブックマーク

情報科学という分野には、さまざまな分野が混在していますが、その中に群論という分野があります。

群論を勉強しよう

群論を勉強したからといって、プログラミングするのに突如役に立つと言うことは多くないと思いますが、暗号化や、圧縮の分野の基礎を学習する前提になっていたりします

ということで、群論を勉強するのにちょうどいい入門書を発見したので紹介します

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中国の剰余定理の使い方 このエントリーを含むはてなブックマーク

中国の剰余定理(中国人の剰余定理)って、よく聞くし、印象にも残るんですが、それを使った問題の解き方を忘れがち。ということで、中国の剰余定理の定番問題を解いてみます。とりあえず、例題はこちら。

以下の連立合同式を解け
x≡1 mod 3
x≡2 mod 5
x≡3 mod 7

なんだか定番らしいと言うか、問題自体はシンプルで、ありがちです。

さて、ここで中国の剰余定理を使うと、答えが以下のような形になることが分かります。

x≡??? mod 105

105は、3,5,7の積です。ようするに、具体的にxが一つ定まるのではなく、105で割ったあまりが???なら何でも解になるということです。

つまり、中国の剰余定理は、連立合同式のそれぞれの式「x≡a mod m」のmどうしが互いに素のときに、解が存在して、「x≡??? mod m_1*m_2*…m_n」の形になることを教えてくれます。

つまるところ、実際の解の求め方を教えてくれるわけではないんですね。

さて、解いてみましょう。

まず、解はたくさんあるのですが、そのうちの一つを求めます。

その一つである「x」はどういう形になるかというと、こんな形になります。

x=a*5*7 + 3*b*7 + 3*5*c
ただし、以下を満たす
a*5*7 ≡ 1 mod 3
3*b*7 ≡ 2 mod 5
3*5*c ≡ 3 mod 7

実は、このa*5*7 + 3*b*7 + 3*5*cという数には秘密があって、a*5*7+3*(b*7 + 7*c)なので、3で割ると、a*5*7が余ります。同様にして、5で割ると3*b*7が、7で割ると3*5*cが余ります。

つまり、もし3つの条件を満たすのならば、xは確かに問題の連立合同式を満たすことになります。3で割ったら、a*5*7があまって、実はa*5*7自体を3で割ったら1あまるので、結果xを3で割ると1余るので。2つめ、3つめの式も同様です。

こんな説明で伝わるか気になるんですが、ここが一番重要だと思います。ちょっと考えてみてください。

さて、ここまできたら、解のうちの一つxを求めることは、a,b,cを求めることなのですが、 たとえば、aは次のようにして求めることができます。

a*5*7 ≡ 1 mod 3 より、
35a ≡ 1 mod 3
右辺に3をいくら足しても、3で割ったときのあまりは変わらないので、69を足して
35a ≡ 70 mod 3
両辺35で割ると、
a ≡ 2 mod 3

なんでここで69を足したのかというと、次のところで35で両辺を割って、左辺をaだけにしたかったからです。

同様に、

3*b*7 ≡ 2 mod 5
21b ≡ 2 mod 5
21b ≡ 2 + 5*8 mod 5
21b ≡ 42 mod 5
b ≡ 2 mod 5

3*5*c ≡ 3 mod 7
15c ≡ 3 mod 7
ここは3で割れるので
5c ≡ 1 mod 7にしてから
5c ≡ 1 + 7*2 mod 7
5c ≡ 15 mod 7
c ≡ 3 mod 7

ということで、以下のようになりました

a ≡ 2 mod 3
b ≡ 2 mod 5
c ≡ 3 mod 7

これを満たすa,b,cならなんでもいいので、a=2、b=2、c=3にしてみると、

2*5*7 ≡ 1 mod 3
3*2*7 ≡ 2 mod 5
3*5*3 ≡ 3 mod 7

なので、これを使うと、

x = 2*5*7 + 3*2*7 + 3*5*3(= 157)

これは、連立合同式を満たす解のうちの一つになっています。

連立合同式を満たす一つの解が分かったので、他の解を考慮した解は

x ≡ 2*5*7 + 3*2*7 + 3*5*3 ≡ 157 mod 105
x ≡ 52 mod 105

と、なります。これで問題が解けました!

仕組みを冷静に考えると、そんなに奇抜なことをやっているわけではありません。ただ、解の一つをa*5*7 + 3*b*7 + 3*5*cと置けばいいなんて思いつかないかもしれないですけどね。

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